初中数学中二次函数是一个重要的知识点，下面将为大家整理一下二次函数的公式及相关知识点，希望能够对大家有所帮助。
1定义与定义表达式
通常情况下，我们说一个函数是x的二次函数，意味着它和x的关系可以表示为y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的形式。其中，a决定函数的开口方向和大小，当a>0时，开口向上，a<0时，开口向下。另外，a的绝对值越大开口就越小，绝对值越小开口就越大。
2抛物线的性质
抛物线是一种轴对称图形，其对称轴可以表示为直线x=-b/2a。
抛物线的对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当抛物线的方程为y=ax^2+c时，对称轴是x轴(即直线y=0)。
抛物线的顶点P的坐标为：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。
抛物线的开口方向和大小由二次项系数a决定。
当a>0时，抛物线的开口朝上，而当a<0时，抛物线的开口朝下。同时，绝对值|a|越大，则抛物线的开口越小。
一次项系数b和二次项系数a一起决定了抛物线的对称轴位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧。
常数项c决定抛物线与y轴的交点，即抛物线与y轴的交点为(0, c)。
一条抛物线与x轴交点的个数取决于该抛物线的开口方向和位置。如果抛物线开口向上并且不与x轴相交，则交点个数为0；如果抛物线开口向下且与x轴相交一次，则交点个数为1；如果抛物线开口向下且与x轴相交两次，则交点个数为2。
当Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个实数根。
当Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴只有一个交点。
当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有实数根。此时，方程x=-b±√(b2-4ac)i/2a给出方程的虚数根的表达式。
二次函数的标准形式为：$y=ax^2 + bx + c$。其中，$a$、$b$ 和 $c$ 是常数，而 $a$ 不等于 0。
二次函数的顶点坐标可以通过函数的顶点公式进行推导。函数 $y=ax^2 + bx + c$ 的顶点坐标可以使用配方法或完成平方得到顶点坐标公式。
配方法可以通过如下步骤得到：
1. 首先，将二次项写成完全平方式。即，找出一个常数 $h$，使得 $ax^2 + bx=a(x^2 + \frac{b}{a}x + h)$。
2. 然后，利用平方差公式，把括号内的三项平方成两项。找一个常数 $k$，使得 $x^2 + \frac{b}{a}x + h=(x + \frac{b}{2a})^2 – k$。这里，$k$ 就是需要求得的值。
3. 最后，将得到的公式代入二次函数的标准形式中，得到 $y=a(x + \frac{b}{2a})^2 – ak + c$。
因此，顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}, c – ak)$。
基于顶点坐标公式的推导，可以得到二次函数的顶点坐标。
二次函数的一般式表示为：y=ax^2+bx+c，其中a，b，c为常数，且a不等于0。
顶点式：y=a(x-h)^2+k
[抛物线的顶点P(h，k)]
对于二次函数y=ax^2+bx+c
顶点的坐标为 (-b/2a, (4ac-b^2)/4a)。
推导：
根据完全平方公式，可以将一元二次方程y=ax^2+bx+c写成y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a的形式。
对称轴x=-b/2a
三次方程的顶点坐标可以通过下面的公式计算得到: (-b/2a, -?/4a)，其中?表示判别式，计算公式为?=b^2-4ac。
所以顶点坐标应该是(-b/2a, -?/4a)。
数学二次函数的考点包括二次函数的基本定义和性质、二次函数图像的特征、二次函数的解析式以及与一次函数的比较等内容。在学习二次函数时，学生需掌握二次函数的标准形式和一般形式，理解二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与x轴和y轴的交点等特性。此外，学生还需要掌握利用配方法、公式法等方法求二次函数的零点、顶点坐标、判别式、焦点坐标等相关内容。通过对这些知识的掌握，学生可以更好地理解和应用二次函数的相关概念，解决与二次函数相关的问题。
我们将主要介绍函数及其相关概念，包括函数的定义域、函数值等。同时，我们也会探讨函数的不同表示法，以及常值函数的特点和应用。
考核要求：(1) 以示例了解变量、自变量和因变量的概念，理解函数及其定义域、函数值等概念；(2) 理解常值函数的概念；(3) 了解函数的表示方法，掌握符号的含义。
我们可以利用待定系数法来求解二次函数的解析式。对于一般形式的二次函数 $f(x)=ax^2 + bx + c$，我们假设其解析式为 $f(x)=A(x – p)(x – q)$，其中 $A$ 是待定系数，而 $p$ 和 $q$ 分别是二次函数的两个根。通过展开并比较系数，我们可以求解 $A$、$p$ 和 $q$ 的值，从而得出二次函数的解析式。
评估标准如下：(1)熟练掌握求函数解析式的方法；(2)能够熟练运用待定系数法求解函数解析式。
注意求函数解析式的步骤：
一、设定函数解析式中的未知常数或变量；
二、根据已知条件代入适当的数值或变量，建立方程组；
三、利用方程组中的关系列出等式，逐步求解未知常数或变量；
四、将求得的未知常数或变量代入设定的函数形式中，还原出最终的函数解析式。
我们来讨论一下如何画出二次函数的图像。首先，二次函数通常具有这样的形式：$y=ax^2 + bx + c$。
画出二次函数的图像有几个重要步骤：
1. 找到顶点：二次函数的顶点可以通过公式 $x=-b / (2a)$ 找到。这个点就是图像的最高点或最低点。
2. 确定开口方向：如果 $a > 0$，则图像开口向上；如果 $a < 0$，则图像开口向下。
3. 找到 $y$ 轴截距：当 $x=0$ 时，计算 $y$ 的值，这个值就是 $y$ 轴截距。
4. 找到 $x$ 轴截距：当 $y=0$ 时，解二次方程 $ax^2 + bx + c=0$，得到两个解（可能有重根或无实根），这些解就是 $x$ 轴截距。
5. 绘制图像：根据以上信息，可以在坐标平面上绘制出二次函数的图像。
画二次函数的图像是学习数学的重要内容，通过这个过程可以更好地理解函数的性质和图像之间的关系。
考核要求：
1. 掌握对函数图像的意义，能够运用描点法在平面直角坐标系中绘制函数图像；
2. 理解二次函数的图像，能够将数学与几何相结合；
3. 能够大致绘制出二次函数的图像。
二次函数是指形式为$f(x)=ax^2 + bx + c$的函数，其中$a$、$b$和$c$是实数且$a \neq 0$。二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其基本性质包括顶点坐标、开口方向、对称轴和与坐标轴的交点等。
顶点坐标可以通过公式$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$来计算。二次函数的开口方向由系数$a$的正负决定，当$a>0$时抛物线开口向上，当$a<0$时抛物线开口向下。对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$，而与$x$轴的交点可通过解方程$f(x)=0$得到。
要求学生借助图像理解和掌握一次函数的特性，并建立一次函数、二元一次方程和直线之间的关系。同时，要求学生掌握使用配方法求二次函数的顶点坐标，并能说明二次函数的相关特性。
请注意：(1)在解题过程中要将数学与图形相结合；(2)对于二次函数的平移，要将其转化为顶点式。
